Теплопроводность

Задачи

Задача 1

Через металлическую пластину площадью S=0.2S = 0.2 м² и толщиной d=1d = 1 см проходит тепловой поток Q=400Q = 400 Вт при разнице температур ΔT=50∘C\Delta T = 50^\circ C. Определите коэффициент теплопроводности металла.

Формула теплового потока:

Q=λSΔTdQ = \frac{\lambda S \Delta T}{d}

Выразим коэффициент теплопроводности λ\lambda:

λ=QdSΔT\lambda = \frac{Q d}{S \Delta T}

Переведем толщину в метры: d=1d = 1 см = 0.01 м.

Подставляем значения:

λ=400×0.010.2×50=410=0.4 Вт/(м * К)\lambda = \frac{400 \times 0.01}{0.2 \times 50} = \frac{4}{10} = 0.4 \text{ Вт/(м * К)}
Ответ:

0.4 Вт/(м·К)

Задача 2

Окно из стекла толщиной d=5d = 5 мм имеет площадь S=1.5S = 1.5 м². Внутри помещения температура T1=22∘CT_1 = 22^\circ C, а снаружи T2=−8∘CT_2 = -8^\circ C. Найдите тепловой поток через окно, если теплопроводность стекла λ=0.8\lambda = 0.8 Вт/(м·К).

Тепловой поток рассчитывается по формуле:

Q=λS(T1−T2)dQ = \frac{\lambda S (T_1 - T_2)}{d}

Переведем толщину в метры: d=5d = 5 мм = 0.005 м.

Подставляем значения:

Q=0.8×1.5×(22−(−8))0.005Q = \frac{0.8 \times 1.5 \times (22 - (-8))}{0.005} Q=0.8×1.5×300.005Q = \frac{0.8 \times 1.5 \times 30}{0.005} Q=360.005=7200 Вт=7.2 кВтQ = \frac{36}{0.005} = 7200 \text{ Вт} = 7.2 \text{ кВт}
Ответ:

7.2 кВт

Задача 3

Двойная стена состоит из слоя кирпича (толщина d1=20d_1 = 20 см, λ1=0.7\lambda_1 = 0.7 Вт/(м·К)) и слоя утеплителя (толщина d2=10d_2 = 10 см, λ2=0.04\lambda_2 = 0.04 Вт/(м·К)). Внутренняя температура стены T1=25∘CT_1 = 25^\circ C, а внешняя T3=0∘CT_3 = 0^\circ C. Определите температуру T2T_2 на границе кирпича и утеплителя.

T1−T2d1/λ1=T2−T3d2/λ2\frac{T_1 - T_2}{d_1 / \lambda_1} = \frac{T_2 - T_3}{d_2 / \lambda_2}

Подставляем данные:

25−T20.2/0.7=T2−00.1/0.04\frac{25 - T_2}{0.2 / 0.7} = \frac{T_2 - 0}{0.1 / 0.04} 25−T20.2857=T22.5\frac{25 - T_2}{0.2857} = \frac{T_2}{2.5}

Домножим на знаменатели:

(25−T2)⋅2.5=T2⋅0.2857(25 - T_2) \cdot 2.5 = T_2 \cdot 0.2857 62.5−2.5T2=0.2857T262.5 - 2.5T_2 = 0.2857T_2 62.5=2.7857T262.5 = 2.7857T_2 T2≈22.4∘CT_2 \approx 22.4^\circ \text{C}
Ответ:

22.4°C

Задача 4

Медный стержень длиной L=50L = 50 см и площадью поперечного сечения S=5S = 5 см² имеет концы с температурами 100∘C100^\circ C и 20∘C20^\circ C. Определите количество тепла, проходящего через стержень за 10 минут, если теплопроводность меди λ=390\lambda = 390 Вт/(м·К).

Q=λS(T1−T2)tLQ = \frac{\lambda S (T_1 - T_2) t}{L}

Переведем величины в СИ:

  • L=0.5L = 0.5 м,
  • S=5S = 5 см² = 5×10−45 \times 10^{-4} м²,
  • t=10t = 10 мин = 600 с.

Подставляем значения:

Q=390×5×10−4×(100−20)×6000.5Q = \frac{390 \times 5 \times 10^{-4} \times (100 - 20) \times 600}{0.5} Q=390×5×10−4×80×6000.5Q = \frac{390 \times 5 \times 10^{-4} \times 80 \times 600}{0.5} Q=936000.5=187200 Дж=187.2 кДжQ = \frac{93600}{0.5} = 187200 \text{ Дж} = 187.2 \text{ кДж}
Ответ:

187.2 кДж

Задача 5

Стена дома имеет толщину d=0.3d = 0.3 м и теплопроводность λ=0.8\lambda = 0.8 Вт/(м·К). Температура внутри дома составляет T1=22∘CT_1 = 22^\circ C, а снаружи T2=−5∘CT_2 = -5^\circ C. Определите плотность теплового потока (тепловой поток через 1 м² стены).

Плотность теплового потока через плоскую стену определяется по закону Фурье:

q=λ(T1−T2)dq = \frac{\lambda (T_1 - T_2)}{d}

Подставляем значения:

q=0.8×(22−(−5))0.3q = \frac{0.8 \times (22 - (-5))}{0.3} q=0.8×270.3=21.60.3=72 Вт/м2q = \frac{0.8 \times 27}{0.3} = \frac{21.6}{0.3} = 72 \text{ Вт/м}^2
Ответ:

72 Вт/м²